​等差数列前n项和公式推导方法（要拿到高考数学数列的分数，就要学会求等差数

等差数列前n项和公式推导方法（要拿到高考数学数列的分数，就要学会求等差数列及其前n项和）

数列作为高考数学重点内容，一直是高考数学的热点和必考的考点，自然而然受到广大考生的关注。

在高考数学里数列一般就涉及等差数列和等比数列相关知识内容，因此，今天我们就一起来简单讲讲等差数列及其前n项的和相关的考点，进行分析，希望能帮助到大家。

什么是等差数列？

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

其中有一个非常重要的知识概念：等差中项。指的是在数列中，a，A，b成等差数列的充要条件是A＝(a＋b)/2其中A叫做a，b的等差中项．

我们还要记住两个跟等差数列的有关公式：

1、通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

2、前n项和公式：Sn＝na1＋n(n-1)d/2＝(a1+an)n/2.

因此，反过来我们去证明{an}为等差数列可以有以下这些方法：

1、用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；

2、用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；

3、通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；

4、前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝(a1+an)n/2.

用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．

典型例题1：

值得注意是与前n项和有关的三类问题

1、知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．

2、Sn＝d/2n2＋(a1-d/2)n＝An2＋Bn⇒d＝2A.

3、利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值。

等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝na1＋n(n-1)d/2＝(a1+an)n/2，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想。

数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

典型例题2：

等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．

应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．

对于设元与解题的技巧，我们可以从以下两个方面下手：

1、已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；

2、若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

同时我们还要掌握好这些等差数列的性质：

1、若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.

2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.

3、若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.

4、等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值。

5、等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件。